辐射度量学基础

序言

  路径追踪的前置知识。

物理量一览

符号	名称	单位	光度学名称	光度学单位
Q	Radiant Energy	J	Luminous Energy	lm.s
$\Phi$	Radiant Flux	$\frac{J}{s}$ / Watt(W)	Luminous Flux	Lumen(lm)
I	Radiant Intensity	$\frac{W}{sr}$	Luminous Intensity	Candela(cd)
E	Irradiance	$\frac{W}{m^2}$	Illuminance	Lux(lx)
L	Radiance	$\frac{W}{m^2\cdot sr}$	Luminance	Nit(nt)

Radiant Energy

• Q (J)

辐射能量。

Radiant Flux

• $\Phi =\frac{dQ}{dt}$ (W)

辐射通量，单位时间上的能量。

Radiant Intensity

• $I(\omega)=\frac{d\Phi}{d\omega}$ ($\frac{W}{sr}$)

辐射强度，功率每立体角。

立体角

立体角：$\Omega =\frac{A}{r^2}$ (sr)、单位立体角：$d\omega =\sin \theta d\theta d\varphi$
一个完整球面的立体角是 $4\pi$。

Irradiance

• $E(x)=\frac{d\Phi (x)}{dA}$ ($\frac{W}{m^2}$)

辐射照度，功率每垂直面积。

Radiance

• $L(p,\omega)=\frac{d^2\Phi (p,\omega)}{d\omega dA\cos\theta}$ ($\frac{W}{sr\cdot m^2}$)
  辐射亮度，功率每立体角，每垂直面积。可以理解为单位面积对单位立体角辐射或接受的功率。

推导

由定义可得 Radiance 即 Intensity 每垂直面积，或者 Irradiance 每立体角。
它们之间的转换为：

• $dE(p)=L(p,\omega)*\cos \theta d\omega$
• $dI(p,\omega)=L(p,\omega)*\cos \theta dA$

进一步推导：一单位面积的 Irradiance 为其接受的 Radiance 在单位半球上的积分。

• $E(p)=\int_{H^2}L_i(p,\omega)\cos \theta d\omega$

双向反射分布函数 BRDF

该函数定义了某一单位面积从某一单位立体角接收到的 Radiance 转化为其 Irradiance 然后再辐射出去的 Radiance 是如何分配到各个立体角上的，即：
出射 Radiance / 入射 Irradiance

• $f_r(\omega_i\rightarrow \omega_r)=\frac{dL_r{\omega_r}}{dE_i{\omega_i}}=\frac{dL_r(\omega_r)}{L_i(p,\omega_i)\cos \theta_id\omega_i}$ ($\frac{1}{sr}$)

反射方程

由 Radiance 与 BRDF 的定义可得：单位面积向任一单位立体角辐射出的 Radiance 可由其接受的 Radiance 与其 BRDF 的乘积在单位半球上积分求得。

• $L_r(p,\omega_r)=\int_{H^2}f_r(p,\omega_i\rightarrow \omega_r)L_i(p,\omega_i)\cos \theta_i{\rm d}\omega_i$

渲染方程

在反射方程中加上自发光项，用于描述光源物体。

• $L_o(p,\omega_o)=L_e(p,\omega_o)+\int_{H^2}f_r(p,\omega_i,\omega_o)L_i(p,\omega_i)(n\cdot \omega_i){\rm d}\omega_i$

$H^2$ 和 $\Omega^+$ 0都表示单位半球面，我们默认下半球面不会产生任何贡献，这样就不用写什么 $max(0, \cos\theta)$ 了。

所有向量由该点发出，方向向外。